La Matematica e la Democrazia Impossibile

di Juanne Pili.

In un interessante articolo pubblicato da Scienza in Rete, tratto dal libro Scienza e Democrazia, edito dalla Egea, si celebrano i matematici ed il loro contributo alla democrazia. Sembrerebbe insomma che la matematica possa aiutare la democrazia.

democraziaIn realtà, stando agli studi che i matematici fecero, riguardo la possibilità della democrazia, le cose dovrebbero stare diversamente. Un conto è quel che fecero per la democrazia delle persone che casualmente di mestiere si occupavano di matematica, un altro è cosa possono dedurre studiando la democrazia e la sua reale consistenza, proprio usando la matematica al posto degli ideali.

Il metodo migliore fino ad oggi sperimentato di realizzare una democrazia è quello del sistema elettorale, ne esistono di diverso tipo – in Italia se ne discute addirittura nei bar – se andiamo ad analizzarli con la matematica scopriamo che quest’ultima non è affatto amica della democrazia ed un matematico non dovrebbe che prenderne atto. Esistono dei paradossi della democrazia, la quale risulterebbe addirittura irrealizzabile. La democrazia è un ideale, al quale ci si può ispirare, ma difficilmente ne esisterà una propriamente “compiuta”.

Noi per democrazia dovremmo intendere “governo del popolo” in realtà i sistema elettorale dei paesi democratici realizza sempre un “governo di maggioranza”. Non è chiaramente la stessa cosa. Il popolo inoltre non è un monolite: ogni ora qualcuno compie l’età minima per poter andare alle urne, qualcun altro muore o perde tale diritto per un certo periodo, anche solo perché indisposto fisicamente. Quindi il popolo che ha votato un minuto fa non è lo stesso che sarà nelle prossime ore o nell’arco della legislatura vigente. Questo è di non poco conto quando si ha a che fare con sistemi elettorali che prevedono il premio di maggioranza ed in generale quando l’ago della bilancia pende su poche manciate di voti.

Tutto questo è misurabile ed è stato già oggetto di studio. Già nel 1785 Condorcet formulò il paradosso che porta il suo nome, proprio riguardo al voto di maggioranza. Scopre così che a meno di votare tutte le combinazioni possibili di candidati presi a coppie (ed in questo modo il voto disperso difficilmente farebbe uscire un vincitore) restava l’alternativa di imporre un metodo di selezione dei candidati (prendiamo come esempio il metodo con cui le nazionali di calcio sono organizzate per ottenere una vincitrice della coppa del mondo) ma in questo modo la scelta del vincitore risulterebbe condizionata dal metodo di selezione scelto.

Dalla teoria si è passati alla pratica. Effettivamente durante le elezioni del 1976 negli Stati Uniti, che vedevano contrapporsi Jimmy Carter e Gerald Ford si “materializzò” il paradosso in maniera molto evidente. Carter (Partito Democratico) sconfisse Ford (Partito Repubblicano), quest’ultimo aveva sconfitto Ronald Reagan alle Primarie. Già allora i sondaggi mostrarono, non di meno, che Reagan avrebbe sconfitto Carter nello scontro diretto. Il che è stato dimostrato nelle elezioni sucessive, quando Reagan effettivamente subentrò a Carter nella Casa Bianca. Il metodo di selezione dei candidati influenzò i risultati, come previsto da Condorcet quasi cento anni prima.

L'economista Kenneth Arrow.
L’economista Kenneth Arrow.

Anche Lewis Carrol (1876) e Duncan Black (1948) sostennero questo paradosso, che a quanto pare viene continuamente riscoperto e “dimenticato” negli abissi della Storia. Arriviamo così all’economista Kenneth Arrow, che nel 1951 formulò il suo teorema dell’impossibilità. Per i più coraggiosi linkiamo la pagina di Wikipedia dove viene illustrato il teorema. In sostanza, Arrow, calcoli logico-matematici alla mano, dimostra che la democrazia è impossibile se prendiamo il voto come paradigma. Tutti i fattori che la richiedono non possono essere infatti mai soddisfatti, a meno che – aggiungiamo noi – non si riesca a votare all’unanimità. Per questi risultati Arrow riceverà il Premio Nobel.

Uno studio interessante è stato fatto anche dal logico-matematico Piergiorgio Odifreddi, scaricabile liberamente online ed è possibile anche seguire un suo interessante convegno sul tema, reperibile su YouTube.

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